Barisan Bilangan Fibonacci : Barisan Bilangan Fibonacci

BARISAN BILANGAN FIBONACCI

SEJARAH

Penemu bilangan Fibonacci adalah Leonardo da Pisa atau Leonardo Pisano (1175-1250). Beliau adalah seorang matematikawan Italia, yang juga dikenal sebagai Fibonacci yang juga memiliki peran dalam mengenalkan sistem penulisan dan perhitungan bilangan Arab ke dunia Eropa.

Leonardo adalah orang yang memperkenalkan deret. Setelah meninggal, ia sering disebut sebagai Fibonacci (dari kata filius Bonacci, anak dari Bonacci). Ayahnya bernama William atau dikenal sebagai Bonacci. Untuk itu Leonardo memiliki julukan Fibonacci yang berasal dari kata Filius Bonacci yang artinya anak dari Bonacci.

William memimpin sebuah pos perdagangan dan beberapa catatan menyebutkan bahwa beliau adalah perwakilan dagang untuk Pisa di Bugia, Afrika Utara (sekarang bernama Bejaia, Aljazair). Sebagai anak muda, Fibonacci berkelana ke sana untuk menolong ayahnya, dan di sanalah beliau belajar tentang sistem bilangan Arab.

Melihat sistem bilangan Arab lebih sederhana dan efisien dibandingkan bilangan Romawi, Fibonacci kemudian berkelana ke penjuru daerah Mediterania untuk belajar kepada matematikawan Arab yang terkenal pada masa itu, dan baru pulang kembali sekitar tahun 1200-an.

Pada 1202, diusia 27, ia menuliskan apa yang telah dipelajari dalam buku Liber Abaci, atau buku perhitungan. Buku ini menunjukkan kepraktisan sistem bilangan Arab dengan cara menerapkannya ke dalam pembukuan dagang, konversi berbagai ukuran dan berat, perhitungan bunga, pertukaran uang dan berbagai aplikasi lainnya. Buku ini disambut baik oleh kaum terpelajar Eropa, dan menghasilkan dampak yang penting kepada pemikiran Eropa, meski penggunaannya baru menyebarluas setelah ditemukannya percetakan sekitar tiga abad berikutnya.

Leonardo pernah menjadi tamu Kaisar Frederick II, yang juga gemar sains dan matematika. Tahun 1240 Republik Pisa memberi penghormatan kepada Leonardo, dengan memberikannya gaji.

Namun, sebelum barisan ini ditemukan di dunia Barat oleh Leonardo da Pisa, berdasarkan buku The Art of Computer Programming karya Donald E. Knuth, barisan ini pertama kali dijelaskan oleh matematikawan India, Gopala dan Hemachandra pada tahun 1150, ketika menyelidiki berbagai kemungkinan untuk memasukkan barang-barang ke dalam kantong.

ASAL-USUL

Fibonacci banyak menulis buku, salah satu yang terkenal dan menjadi tonggak awal penggunaan angka Arab adalah “Liber Abaci”. Pada bab 12 buku tersebut, terdapat sebuah permasalahan yang mampu mengusik akal sehat matematikawan, yaitu tentang masalah kelinci beranak-pinak. Pertanyaan sederhana tetapi diperlukan kejelian dalam berpikir. Inilah masalah yang terdapat dalam buku tersebut :

“a certain man put a pair of rabbits in a place surrounded by a wall. How many pairs of rabbits can be produced from that pair in a year if it is supposed that every month each pair begets a new pair which from the second month on becomes productive ?”

Bila diterjemahkan, “Berapa banyak pasangan kelinci yang beranak pinak selama satu tahun jika diawali dari sepasang kelinci (jantan dan betina) dan kelinci tersebut tumbuh jadi dewasa bisa kawin setelah mereka berumur satu bulan, sehingga setiap bulan kedua, masing-masing kelinci betina selalu melahirkan sepasang kelinci baru ?”

Dari gambaran diatas, dapat diketahui bahwa :

Jumlah kelinci pada bulan ke-1 : 1 pasang (namakan A)
Jumlah kelinci pada bulan ke-2 : 1 pasang (A)
Jumlah kelinci pada bulan ke-3 : 2 pasang (A dan B; B adalah anak dari A)
Jumlah kelinci pada bulan ke-4 : 3 pasang (A, B dan C; C adalah anak dari A)
Jumlah kelinci pada bulan ke-5 : 5 pasang (A, B, C, D dan E; D adalah anak dari A, sedangkan E adalah anak dari B)
....
....

Sehingga Fibonacci menggambarkan jumlah kelinci dalam setahun melalui barisan bilangan

1 1 2 3 5 8 13 21 . . .

Atau dinotasikan dengan

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 . . .

Karena mencari banyak pasangan kelinci yang beranak-pinak dalam setahun, maka yang dimaksud adalah mencari F12 pada barisan bilangan tersebut.

DEFINISI

Barisan bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut :

Sehingga diperoleh Barisan Fibonacci seperti di bawah ini :

Dari barisan bilangan fibonacci di atas, kita dapat mengkuadratkan masing-masing bilangan tersebut, sehingga

Berdasarkan pada pengkuadratan bilangan fibonacci diatas, kita bisa mendapatkan hal baru yaitu :

1=1 x 1 = F1 x F2

1 + 1 = 1 x 2 = F2 x F3

1 + 1 + 4 = 2 x 3 = F3 x F4

1 + 1 + 4 + 9 = 3 x 5 = F4 x F5

1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 5 x 8 = F5 x F6

1 + 1 + 4 + 9 + 25 + 64 = 8 x 13= F6 x F7

...

dst

Sehingga dapat dibentuk rumus umum dari hal baru di atas yaitu :

Adapun video yang berkaitan dengan dengan hak baru diatas, silakan klik link di bawah ini :

http://www.youtube.com/watch?v=SjSHVDfXHQ4

BEBERAPA FAKTA DIBALIK BILANGAN FIBONACCI

1. Jumlah Daun pada Bunga (petals)

Mungkin sebagian besar tidak terlalu memperhatikan jumlah daun pada sebuah bunga. Dan bila diamati, ternyata jumlah daun pada bunga itu menganut deret fibonacci. contohnya:
- jumlah daun bunga 3 : bunga lili, iris
- jumlah daun bunga 5 : buttercup (sejenis bunga mangkok)
- jumlah daun bunga 13 : ragwort, corn marigold, cineraria,
- jumlah daun bunga 21 : aster, black-eyed susan, chicory
- jumlah daun bunga 34 : plantain, pyrethrum
- jumlah daun bunga 55,89 : michaelmas daisies, the asteraceae family

2. Pola Bunga

Pola bunga juga menunjukkan adanya pola fibonacci ini, misalnya pada bunga matahari.

Dari titik tengah menuju ke lingkaran yang lebih luar, polanya mengikuti deret fibonacci.

BEBERAPA APLIKASI DARI BILANGAN FIBONACCI

1. Kemenangan Obama dan deret Angka Fibonacci

Ada sebuah penelitian yang dipublikasikan pada bulan Juni 2008, pada saat itu masih dalam tahap kampanye calon Presiden Obama dan MacCain, yang mana penelitian tersebut mengemukakan dan tepatnya mungkin meramalkan bahwa Obama akan menjadi Presiden Amerika yang ke-44.

Penelitian ini didasarkan pada kejadian-kejadian politik di Amerika yang ada kaitannya dengan kehidupan politik orang kulit hitam di Amerika (African-Americans). Pada penelitian itu disebutkan bahwa berdasarkan deret tahun kejadian politik di Amerika, maka Obama memiliki peluang yang besar untuk menjadi Presiden Amerika. Nah, ternyata kenyataannya itu terbukti.

2. Untuk memperkirakan pergerakan harga

Metode Fibonacci banyak digunakan para trader untuk memperkirakan pergerakan harga. Ada dua rasio fibonacci yang banyak digunakan dalam forex yaitu fibonacci retracement & fibonacci extension.

Untuk keperluan forex, inilah rasio fibonacci yang perlu anda ketahui:

Fibonacci Retracement Levels:
0.236, 0.382, 0.500, 0.618, 0.764
Fibonacci Extension Levels:0, 0.382, 0.618, 1.00, 1.382, 1.618

3. Menentukan nilai optimum dari suatu fungsi (Metode Fibonacci)

Pencarian Fibonacci dapat dipakai untuk mencari maximum dari sebuah fungsi satu variabel, bahkan untuk fungsi yang tidak kontinu.

4. Dalam dunia musik

Tidak diduga, musik yang enak terdengar berasal dari numerik Fibonacci. Hal ini dapat dibuktikan pada beberapa bagian komposer musik klasik pada Mozart dan Bethoven menggunakan seri Fibonacci. Untuk lebih mendalam melihat simetri di Musik, termasuk penggunaan Fibonacci Sequence dalam musik, bisa melihat pada halaman web " Mathematical Instituteof the Serbian Academy of Sciences and Arts".

5. Pendekatan untuk mendapatkan nilai golden rasio

Rasio emas (golden rasio) diperoleh dari hasil bagi deret Fibonacci sebelumnya dimulai setelah deret ke-tiga belas. Deret ke-tiga belas pada deretan angka Fibonacci adalah 233, yang jika dibagi dengan angka sebelumnya yaitu 144 menghasilkan angka 1,618 atau dengan kata lain rasio emas. Jika dilakukan pembagian serupa pada deret selanjutnya bahkan sampai deret tak hingga sekalipun, maka angka ini akan tetap bernilai sama, yaitu 1,618. Angka ini bernilai sama tanpa ada sedikitpun yang menyimpang.